Question

如图，α-l-β为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α，N∈β，且MP和NP与l所成的角相等，则MN与β所成角为

 

．

Answer 1

分析：作NA⊥α于A，MB⊥β于B，连接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD，根据已知中α-l-β为60°的二面角，三角形PMN为等腰直角三角形，设∠MNB=θ，MN=

2

a，我们易得到△BPD∽△PNC，然后根据相似三角形对应线段成比例，可以构造关于θ方程，解方程即可同MN与β所成角．

解答：解：作NA⊥α于A，MB⊥β于B，连接AP、PB、BN、AM，
再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD．
设∠MNB=θ，MN=

2

a，则PB=PN=a，MB=NA=

2

asinθ，NB=

2

acosθ?，
∵MB⊥β，BD⊥l，
∴MD⊥l，∴∠MDB是二面角α-l-β的平面角，
∴∠MDB=60°，同理∠NCA=60°，
∴BD=AC=

3

3

MB=

6

3

asinθ，CN=DM=

MB

6sin60°

=

2 6

3

asinθ，
∵MB⊥β，MP⊥PN，∴BP⊥PN
∵∠BPN=90°，∠DPB=∠CNP，∴△BPD∽△PNC，∴

PC

PN

=

BD

PB

即

a2-CN2

a

=

DB

BN2-a2

∴

a2-( 2 6 a 3 sinθ)2

a

=

6 sinθ

3 ( 2 acosθ)2-a2

整理得，16sin⁴θ-16sin²θ+3=0
解得sin²θ=

1

4

或

3

4

，sinθ=

1

2

或

3

2

，
当sinθ=

3

2

时，CN=

2 6

3

asinθ=

2

a＞PN不合理，舍去．
∴sinθ=

1

2

，
∴MN与β所成角为30°．
故答案为：30°．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，与二面角有关的立体几何综合题，本题难度比较大，处理起来比较麻烦，其中作出辅助线后得到△BPD∽△PNC，进而根据似三角形对应线段成比例，构造关于θ方程，是解答本题的关键．