Question

设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为 ， 在轴负半轴上有一点，且

（1）若过三点的圆 恰好与直线相切，求椭圆C的方程；

（2）在（1）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在满足题意的点且的取值范围是。

【解析】

试题分析：（1）由题意，得，所以 

又  由于，所以为的中点，

所以

所以的外接圆圆心为，半径  3分

又过三点的圆与直线相切，

所以解得，

所求椭圆方程为   6分

（2）有（1）知,设的方程为：

将直线方程与椭圆方程联立

,整理得

设交点为，因为

则  8分

若存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，

由于菱形对角线垂直，所以

又 

又的方向向量是，故，则

，即

由已知条件知  11分

，故存在满足题意的点且的取值范围 是  13分

考点：本题主要考查椭圆标准方程，直线方程，直线与椭圆的位置关系，存在性问题研究，平面向量的坐标运算。

点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质。对于存在性问题，往往先假设存在，利用已知条件加以探究，以明确计算的合理性。本题（III）通过确定m的表达式，利用函数思想，通过求函数的最值，确定得到其范围。