Question

已知函数f（x）=sinx+acosx的图象关于直线x=

π

6

对称，且方程f（x）=m在[0，

π

2

）上恰有两个不同的实数根，则实数m取值范围是（　　）

• A、[0，1]
• B、[1，2]
• C、[

  3

  ，2）
• D、[1，

  3

  ]

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：由题意可得可得±

1+a2

=sin

π

6

+acos

π

6

，求得a的值，可得f（x）=2sin（x+

π

3

）．再根据函数y=f（x）的图象和直线y=m在[0，

π

2

）上有两个交点，求得m的范围．

解答： 解：由函数f（x）=sinx+acosx的图象关于直线x=

π

6

对称，可得x=

π

6

时，函数取得最大值或最小值，
故有±

1+a2

=sin

π

6

+acos

π

6

，求得 a=

3

，
∴f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

）．
在[0，

π

2

）上，x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

），f（x）∈（1，2]．
再根据方程f（x）=m在[0，

π

2

）上恰有两个不同的实数根，可得函数y=f（x）的图象和直线y=m在[0，

π

2

）上有两个交点，
故

3

≤m＜2，
故选：C．

点评：本题主要考查三角函数的图象的对称性，两角和的正弦公式，方程根的存在性以及个数判断，属于基础题．