Question

观察下列式子：1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

23

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，…，则可以猜想：1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

20112

＜

 

．

Answer 1

分析：由已知中，1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

23

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，…，观察分析不等式两边数的变化趋势，归纳其中规律后，推断出1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

2n-1

2

，将n=2011代入得到答案．

解答：解：由已知中的式子：
1+

1

22

＜

3

2

=

2×2-1

2

，
1+

1

22

+

1

23

＜

5

3

=

2×3-1

3

，
1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

=

2×4-1

4

，
…，
我们可以推断
1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

2n-1

2

故1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

20112

＜

2×2011-1

2011

=

4021

2011

故答案为：

4021

2011

点评：本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知的不等式，推断出1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

2n-1

2

是解答本题的关键．