Question

已知圆C：x²+y²-4x-5=0．
（1）过点（5，1）作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C的弦AB的中点P（3，1），求AB所在直线方程．

Answer 1

解：由C：x²+y²-4x-5=0得圆的标准方程为（x-2）²+y²=9-----------（2分）
（1）显然x=5为圆的切线．------------------------（4分）
另一方面，设过（5，1）的圆的切线方程为y-1=k（x-5），即kx-y+1-5k=0；
所以，解得
于是切线方程为4x+3y-23=0和x=5．------------------------（7分）
（2）设所求直线与圆交于A，B两点，其坐标分别为（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
则有
两式作差得（x₁+x₂-4）（x₂-x₁）+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0--------------（10分）
因为圆C的弦AB的中点P（3，1），所以（x₂+x₁）=6，（y₂+y₁）=2
所以，故所求直线方程为 x+y-4=0-----------------（14分）
分析：（1）化圆的方程为标准方程，利用点线距离等于半径，可求切线方程，应注意有两条；
（2）设点作差，利用中点坐标，确定弦AB的斜率，即可求得AB所在直线方程．
点评：本题考查圆的切线，考查中点弦的问题，解题的关键是利用圆的特性，利用点到直线的距离公式求解．