Question

数列{a_n}满足递推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），其中a₄=365，
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；  
（Ⅱ）若存在一个实数λ，使得为等差数列，求λ值；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项之和．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为数列{a_n}满足递推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），且a₄=365，所以利用递推式，
由a4求a3，由a3求a2，由a2求a1，
（Ⅱ）由为等差数列，以及等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，所以可设
解出a_n，再根据（Ⅰ）中所求a₁，a₂，a₃的值解出x，y，λ即可．
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所求出的a_n，利用错位相减法求数列{a_n}的前n项之和．
解答：解：（Ⅰ）由a_n=3a_n-1+3ⁿ-1，及a₄=365知a₄=3a₃+3⁴-1=365，则a₃=95
同理求得a₂=23，a₁=5
（Ⅱ）∵
∴a_n=（xn+y）•3ⁿ-λ，又由a₁=5，a₂=23，a₃=95

∴
．
（Ⅲ）∵


由上两式相减


=-n•3ⁿ⁺¹

．
点评：本题考查了等差数列的通项公式，以及错位相见求数列的和，做题时要善于观察，找到规律．