Question

【题目】已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点。

（1）求椭圆C的标准方程。

（2）已知点在椭圆C上，点A、B是椭圆C上不同于P、Q的两个动点，且满足： 。试问：直线AB的斜率是否为定值？请说明理由。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：对于（1），结合已知即可求出b2与a2，问题便可解答；

对于（2），当时，PA，PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，接下来求出直线PA与PB的方程，然后将其与椭圆分别联立，即可求出,然后利用斜率的计算公式不难求出k的值，问题便可解答.

试题解析：

（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆标准方程为（a＞b＞0），

∵椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．

焦点为(0,2)，

∴b=2…（1分）e==，a2﹣b2=c2，

∴解得a2=16，b2=12

∴椭圆C的标准方程．

（2）直线 x=﹣2与椭圆交点P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）或P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3），∴|PQ|=6，设A （x1，y1 ），B（ x2，y2），

当∠APQ=∠BPQ时直线PA，PB斜率之和为0．

设PA斜率为k，则PB斜率为﹣k．

当P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）时，

PA的直线方程为y﹣3=k（x+2）

与椭圆联立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48=0

∴=;

同理

∴

, y1﹣y2=k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3]=

直线AB斜率为