Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB+bcosA=$\sqrt{2}$ccosC．
（1）求角C的大小；
（2）求$\sqrt{3}sinA-cos（B+\frac{π}{4}）$的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理和两角和的正弦公式化简已知的式子，再由内角的范围和cosC和C的值；
（2）由（1）和内角和定理求出$B=\frac{3π}{4}-A$，代入$\sqrt{3}sinA-cos（B+\frac{π}{4}）$利用诱导公式、两角和的正弦公式化简，根据角A的范围、正弦函数的性质求出最大值，并求出此时的角A、B的大小．

解答 解：（1）由题意得，$acosB+bcosA=\sqrt{2}ccosC$，
由正弦定理得，$sinAcosB+sinBcosA=\sqrt{2}sinCcosC$，
∴sin（A+B）=$\sqrt{2}sinCcosC$，
∵0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC≠0，则$cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵0＜C＜π，∴$C=\frac{π}{4}$…（4分）
（2）由（1）知$B=\frac{3π}{4}-A$，
∴$\sqrt{3}sinA-cos（B+\frac{π}{4}）=\sqrt{3}sinA-cos（π-A）=\sqrt{3}sinA+cosA=2sin（A+\frac{π}{6}）$，…（8分）
∵$0＜A＜\frac{3π}{4}$，∴$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{11π}{12}$，
∴当$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$A=\frac{π}{3}$时，$2sin（A+\frac{π}{6}）$取最大值2．…（10分）
综上所述，$\sqrt{3}sinA-cos（B+\frac{π}{4}）$的最大值为2，此时$A=\frac{π}{3}，B=\frac{5π}{12}$．…（12分）

点评 本题考查正弦定理，两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质，注意三角形内角的范围，属于中档题．