Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₅-1）³+2011（a₅-1）=1，（a₂₀₀₇-1）³+2011（a₂₀₀₇-1）=-1，则下列结论正确的是

1. A.
   S₂₀₁₁=2011，a₂₀₀₇＜a₅
2. B.
   S₂₀₁₁=2011，a₂₀₀₇＞a₅
3. C.
   S₂₀₁₁=-2011，a₂₀₀₇≤a₅
4. D.
   S₂₀₁₁=-2011，a₂₀₀₇≥a₅

Answer 1

A
分析：令f（x）=x³+2011x-1，，由f′（x）=3x²+2011＞0可得f（x）在R上单调递增且连续的函数，结合零点判定及f（0），f（1）的符号可知函数f（x）=x³+2011x-1只有唯一的零点x₀∈（0，1）从而可得a₅-1，的符号，同理可得a₂₀₀₇-1的符号，由已知两式相加可得，（a₅+a₂₀₀₇-2）[（a₅-1）²+（a₂₀₀₇-1）²-（a₅-1）（a₂₀₀₇-1）+2011]=0，从而有a₅+a₂₀₀₇-2=0，由等差数列的性质可得a₁+a₂₀₁₁=a₅+a₂₀₀₇=2，代入等差数列的求和公式可求
解答：令f（x）=x³+2011x-1，g（x）=x³+2011x+1
f′（x）=3x²+2011＞0
f（x）在R上单调递增且连续的函数
f（0）=-1＜0，f（1）=2011＞0
函数f（x）=x³+2011x-1只有唯一的零点x₀∈（0，1）
从而可得0＜a₅-1＜1，1＜a₅＜2，-1＜a₂₀₀₇＜0∴a₂₀₀₇＜a₅
∵（a₅-1）³+2011（a₅-1）=1，（a₂₀₀₇-1）³+2011（a₂₀₀₇-1）=-1
两式相加整理可得，（a₅+a₂₀₀₇-2）[（a₅-1）²+（a₂₀₀₇-1）²-（a₅-1）（a₂₀₀₇-1）+2011]=0
由0＜a₅-1＜1，-1＜a₂₀₀₇-1＜0可得（a₅-1）²+（a₂₀₀₇-1）²-（a₅-1）（a₂₀₀₇-1）+2011＞0
∴a₅+a₂₀₀₇-2=0
由等差数列的性质可得，a₁+a₂₀₁₁=a₅+a₂₀₀₇=2
∴=2011
故选：A
点评：本题主要考查了利用函数的导数及单调性、由函数的性质判定零点的范围，等差数列性质（若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q）的应用及求和公式应用，本题是一道综合性非常好的试题，知识的应用也比较灵活．考试要注意体会应用．