Question

已知四棱锥P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AC与BD交于点O，又PA=3，AD=2，AB=2

3

，BC=6，
（Ⅰ） 求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角O-PB-A的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明AO⊥BO，利用PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BO，利用线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）证明DA⊥面PAB，作AH⊥PB，连接DH，则DH⊥PB，所以∠AHD是二面角O-PB-A的平面角，利用三角函数可求．

解答：（Ⅰ）证明：由AD=2，AB=2

3

，BC=6得BD=4，AC=

3

∵

AO

OC

=

OD

BO

=

1

3

，∴AO=

3

，BO=3
在△ABO中，AO²+BO²=AB²，所以AO⊥BO，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BO
∵PA∩AO=A，∴BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）解：由PA⊥底面ABCD，可得面PAB⊥底面ABCD，
由AB⊥AD，可得DA⊥面PAB
作AH⊥PB，连接DH，则DH⊥PB，所以∠AHD是二面角O-PB-A的平面角．
在△AHD中，AH=

6

7

，AD=2，HD=

8

7

，∴cos∠AHD=

AH

HD

=

3

4

．
所以二面角O-PB-A的余弦值是

3

4

．

点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生的空间想象能力，属于中档题．