Question

已知抛物线C：y²=2px（P＞0）的准线为l，过M（1，0）且斜率为

3

的直线与l相交于点P，与C的一个交点为Q，

PM

=

MQ

．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点K（-1，0）的直线m与C相交于A、B两点，
①若BM=2AM，求直线AB的方程；
②若点A关于x轴的对称点为D，求证：点M在直线BD上．

Answer 1

分析：（1）设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x²+（-6-2p）x+3=0，进而根据

PM

=

MQ

，可知 x=

1

2

p+2代入方程即可求得p，从而得到抛物线的方程．
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|

BM

|=

(x2-1)  2+y22

=x₂+1，|

AM

| =

(x1-1)2+y1 2

=x1+1，由|

BM

| =2|

AM

|，知x₂=2x₁+1，由此能求出直线AB．
②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则D（x₁，-y₁），设直线l：y=k（x+1），（k≠0），代入y²=4x，化简整理，得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，由△＞0，得0＜k²＜1，x1+x2=-

2k2-4

k2

，x1x2=1，再由kBF-kDF=

y2

x2-1

+

y1

x1-1

=0，知点M在BD上．

解答：解：（1）设直线PQ：y=3x-3，代入y²=2px得3x²+（-6-2p）x+3=0，
又∵

PM

=

MQ

，
∴x=12p+2，解得p²+4P-12=0，
解得p=2，p=-6（舍去）
故抛物线的方程为：y²=4x．
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
|

BM

|=

(x2-1)  2+y22

=x₂+1，
|

AM

| =

(x1-1)2+y1 2

=x1+1，
∵|

BM

| =2|

AM

|，
∴x₂=2x₁+1，
由此能导出直线AB的斜率k=±

2 2

3

，
∴直线AB为：y=±

2 2

3

(x+1)
②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则D（x₁，-y₁），
设直线l：y=k（x+1），（k≠0），
代入y²=4x，化简整理，得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
由△＞0，得0＜k²＜1，x1+x2=-

2k2-4

k2

，x1x2=1，
kBF=

y2

x2-1

，kDF=-

y1

x1-1

，
∴kBF-kDF=

y2

x2-1

+

y1

x1-1

=

k(x2+1)(x1-1)+k(x1+1)(x2-1)

(x2-1)(x1-1)

=

2k(x1x2-1)

x1x2-(x1+x2)+1

=0，
∴点M在BD上．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．