Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

a-3

2

x2+(a2-3a)x-2a
（Ⅰ）若在x=-1处有极值，求a的值及f（x）单调区间
（Ⅱ）如果对任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知函数的解析式，我们易求出函数的导函数的解析式，根据函数在x=-1处有极值，我们易根据导函数数值此时为0，构造一个关于a的方程，解方程求出a值后，在分区间讨论导函数值的符号，即可求出f（x）单调区间
（Ⅱ）使得任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，只须（x-3）（x+a）＞0在x∈[1，2]上恒成立结合二次函数的性质，我们即可求出满足条件的实数a的取值范围．

解答：解：f′（x）=x²+（a-3）x+a²-3a
（Ⅰ）∵在x=-1处有极值，
∴f′（-1）=（-1）²+（a-3）（-1）+a²-3a=0
解得：a=2
此时f′（x）=x²-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）≥0，则x≥2或x≤-1；令f′（x）≤0，则-1≤x≤2
∴f（x）在（-∞，-1]和[2，+∞）上单调递增，在[-1，2]上单调递减．
（Ⅱ）∵f′（x）-a²=x²+（a-3）x-3a=（x-3）（x+a）
∴要使得任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立
只须（x-3）（x+a）＞0在x∈[1，2]上恒成立
令g（x）=（x-3）（x+a），则g（x）的图象恒过点（3，0），（-a，0）且开口向上
要使得g（x）＞0的x∈[1，2]恒成立，只须-a＞2?a＜-2即可．
∴要使得任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²，则a的取值范围是a∈（-∞，-2）

点评：本题考查的知识是函数在某点取得极值的条件，函数恒成立问题，及利用导数研究函数的单调性，其中根据已知函数的解析式，求出导函数的解析式，是解答本题的关键．