Question

选做题
已知函数f（x）=﹣x³+ax在（0，1）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围A；
（2）当a为A中最小值时，定义数列{a_n}满足：a₁=b∈（0，1），且2a_n+1=f（a_n），试比较a_n与a_n+1的大小．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=﹣x³+ax，
∴f′（x）=﹣3x²+a，
∵f（x）=﹣x³+ax在（0，1）上是增函数，
∴f′（1）=﹣3+a≥0，
∴a≥3，即A=[3，+∞）．
（2）当a=3时，由题意：a_n+1= f（a_n）=﹣  + a_n，
且a₁=b∈（0，1），以下用数学归纳法证明：a_n∈（0，1），对n∈N*恒成立．
①当n=1时，a₁=b∈（0，1）成立；
②假设n=k时，a_k∈（0，1）成立，
那么当n=k+1时， a_k+1=﹣ a_k³+ a_k，
由①知g（x）=（﹣x³+3x）在（0，1）上单调递增，
∴g（0）＜g（a_k）＜g（1）即0＜a_k+1＜1，
　由①②知对一切n∈N*都有a_n∈（0，1）　
而a_n+1﹣a_n=﹣ a_n³+ a_n﹣a_n= a_n（1﹣a_n²）＞0
∴a_n+1＞a_n．