Question

已知函数f（x）=2x²+bx+c在（-∞，-

3

2

）上减函数，在（-

3

2

，+∞）上是增函数，且对应方程两个实根x₁，x₂满足|x₁-x₂|=2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[-2，1]上的值域．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由已知可得，对称轴x=-

3

2

，求出b，再由韦达定理，即可得到c，进而得到函数的解析式；
（2）考虑对称轴和区间的关系，即可得到最值，进而得到值域．

解答： 解：（1）由已知得：对称轴x=-

3

2

，
所以-

b

4

=-

3

2

得b=6，
故f（x）=2x²+6x+c 又x₁，x₂，是方程2x²+6x+c=0的两个根，
x₁+x₂=-3，x₁x₂=

c

2

，
所以|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9-2c

=2，
得c=

5

2

，
故f（x）=2x²+6x+

5

2

；
（2）f（x）=2x²+6x+

5

2

=2（x+

3

2

）²-2
当x∈[-2，1]时，f（-

3

2

）≤f（x）≤f（1），
即-2≤f(x)≤

21

2

，
故值域为[-2，

21

2

]．

点评：本题考查二次函数的解析式的求法，考查二次函数的值域，注意对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．