Question

已知凼数f（x）=

x2+1

bx+c

是奇凼数，且f（1）=2，
（1）求f（x）的解析式
（2）判断凼数f（x）在（0，1）上的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数是奇函数得到f（-x）=-f（x），建立方程关系即可求f（x）的解析式
（2）根据函数单调性的定义即可判断凼数f（x）在（0，1）上的单调性．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即

x2+1

-bx+c

=-

x2+1

bx+c

，
即-bx+c=-bx-c，则c=-c，解得c=0，
∵f（1）=2，
∴f（1）=

1+1

b

=

2

b

=2，解得b=1，
故f（x）=

x2+1

x

．
（2）∵f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，
函数f（x）在（0，1）上单调递减，
证明：设0＜x₁＜x₂＜1，
则f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=(x1-x2)+

x2-x1

x1?x2

=(x1-x2)?

x1x2-1

x1?x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0，
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)?

x1x2-1

x1x2

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上的单调递减．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及单调性的判断，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．