Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值．
（3）求函数g（x）=xf（x）+4x在x∈[0，2]的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=ax²+bx-3，知f′（x）=2ax+b．由二次函数f（x）=ax²+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行，知，由此能求出f（x）．
（2）由f（x）=x²-2x-3，知g（x）=xf（x）+4x=x³-2x²+x，所以g′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．令g′（x）=0，得，x₂=1．列表讨论能求出函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值．
（3）由g（0）=0，g（2）=2，结合（2）的结论，能求出函数g（x）的最大值和最小值．
解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx-3，
∴f′（x）=2ax+b．
∵二次函数f（x）=ax²+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行，
∴，
解得a=1，b=-2．所以f（x）=x²-2x-3．
（2）∵f（x）=x²-2x-3，
∴g（x）=xf（x）+4x=x³-2x²+x，
所以g′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．
令g′（x）=0，得，x₂=1．

x	（-∞，）		（，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+		-		+
g（x）	↑	极大值	↓	极小值0	↑

所以函数g（x）的单调递增区间为（-∞，），（1，+∞）．在x₂=1有极小值为0．
在有极大值．
（3）∵g（0）=0，g（2）=2，
∴由（2）知：函数g（x）的最大值为2，最小值为0．
点评：本题考查导数在求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．