Question

函数f（x）=x³+ax²+bx-2的图象在与y轴交点的切线方程为y=x+a．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数存在极值，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用切点为（0，-2）和f′（0）=1可得a，b，进而求出函数的解析式．
（2）转化为g′（x）=0有实根．根据判别式求出对应的根，再找函数的极值即可．
解答：解：（1）由已知可得切点为（0，-2），所以a=-2，
又因为f′（x）=3x²+2ax+b，
所以f′（0）=b=1．
所以函数解析式为f（x）=x³-2x²+x-2．
（2）由（1）可得：g（x）=x³-2x²+x-2+mx，
所以g′（x）=3x²-4x+1+，令g′（x）=0．
当函数有极值时，方程3x²-4x+1+=0有实根，即△≥0，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g′（x）=0有实根x=，在x=左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．
②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，
x₁=（2-），x₂=（2+），
当x变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：
故在m∈（-∞，1）时，函数g（x）有极值；当x=（2-）时，g（x）有极大值；当x=（2+） 时，g（x）有极小值．
点评：本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．