Question

20．给出下列命题：
（1）命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；
（2）命题“?x∈R，x²-x≤0”的否定是“?x∈R，x²-x≥0”；
（3）向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（1，1），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$的夹角是锐角，则λ的取值范围是λ＞-$\frac{5}{3}$；
（4）方程（x-y+2）$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-9}$=0表示的曲线是一个圆和两条射线．
其中真命题的个数是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 利用复合命题的真假以及充要条件判断（1）的正误；
命题的否定判断（2）正误；向量的数量积判断（3）的正误；曲线与方程判断（4）的正误．

解答 解：（1）命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；应该是充分不必要条件，所以（1）不正确；
（2）命题“?x∈R，x²-x≤0”的否定是“?x∈R，x²-x≥0”；不满足命题的否定的形式，正确的否定是：“?x∈R，x²-x＞0，所以（2）不正确；
（3）向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（1，1），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$的夹角是锐角，可得$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}）}{\left|\overrightarrow{a}\right||\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}|}＞0$，
即：$\frac{5+3λ}{\sqrt{5}•\sqrt{{（1+λ）}^{2}+{（4+2λ）}^{2}}}$＞0，则λ的取值范围是λ＞-$\frac{5}{3}$；所以（3）正确；
（4）方程（x-y+2）$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-9}$=0表示的曲线是一个圆和两条射线．应该是两个点．所以（4）不正确；
故选：C．

点评 本题考查命题的真假的判断，充要条件以及命题的否定，向量的夹角，曲线与方程的关系，考查基本知识的应用．