Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（3，-4），$\overrightarrow{b}$=（2，x），$\overrightarrow{c}$=（2，y），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，求：
（1）$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$；       
（2）$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$的夹角；   
（3）|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|

Answer 1

分析 （1）通过向量共线求出x，向量垂直求出y，即可利用数量积求解．
（2）利用向量的数量积求解夹角即可．
（3）直接求解向量的模即可．

解答 解：（1）∵$\vec a∥\vec b$，∴$\frac{2}{3}=\frac{x}{-4}$，∴x=-$\frac{8}{3}$，可得$\overrightarrow{b}$=（2，$-\frac{8}{3}$），…（2分）
∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=0，∴y=$\frac{3}{2}$，∴$\overrightarrow{c}$=（2，$\frac{3}{2}$），…（4分）
∴$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=2×2-$\frac{8}{3}×\frac{3}{2}$=0…（6分）
（2）cos$＜\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}＞$=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{\left|\overrightarrow{b}\right|\left|\overrightarrow{c}\right|}$=0．
∴$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$的夹角为：90°…（8分）
（3）由（1）$\overrightarrow{b}$=（2，$-\frac{8}{3}$），$\overrightarrow{c}$=（2，$\frac{3}{2}$），
∴|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=|（2+2，-$\frac{8}{3}+\frac{3}{2}$）|=|（4，-$\frac{7}{6}$）|=$\sqrt{{4}^{2}+{（-\frac{7}{6}）}^{2}}$=$\frac{25}{6}$  …（12分）
（采用其他方法做对，酌情给分！）

点评 本题考查平面向量的数量积的运算，向量的共线与垂直的应用，考查计算能力．