Question

5．已知函数f（x）=mx-1，g（x）=x²-2mx+m
（1）m=1时，求g（x）的单调增区间；
（2）记函数G（x）=g（x）+f（x）
①若函数y=|G（x）|在[2，4]上单调递增，求实数m的范围；
②是否存在整数a，b，使得关于x的不等式a≤G（x）≤b的解集为[a，b]，若存在求出a，b的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）m=1时，g（x）=x²-2x+1=（x-1）²，可得g（x）的单调增区间；
（2）①G（x）=g（x）+f（x）=x²-mx+m-1，利用函数y=|G（x）|在[2，4]上单调递增，可得m-1＜1或1＜m-1≤2，即可求实数m的范围；
②假设存在整数a，b（a＜b），使得关于x的不等式a≤f（x）≤b的解集为{x|a≤x≤b}．即a≤x²-mx+m-1≤b的解集为{x|a≤x≤b}．可得f（a）=a，f（b）=b．即x²-mx+m-1=x的两个实数根为a，b．即可得出．

解答 解：（1）m=1时，g（x）=x²-2x+1=（x-1）²，单调增区间是（1，+∞）；单调减区间是（-∞，1）；
（2）①G（x）=g（x）+f（x）=x²-mx+m-1
∵函数y=|G（x）|在[2，4]上单调递增，
∴m-1＜1或1＜m-1≤2或4≤$\frac{1}{2}$m＜m-1，
∴m＜2或2＜m≤3或m≥8；
②假设存在整数a，b（a＜b），使得关于x的不等式a≤f（x）≤b的解集为{x|a≤x≤b}．
即a≤x²-mx+m-1≤b的解集为{x|a≤x≤b}．则f（a）=a，f（b）=b．
∴x²-mx+m-1=x的两个实数根为a，b．
∴a+b=m+1，ab=m-1．
当b=1时，a不存在，舍去；
当b≠1时，a=1-$\frac{1}{b-1}$，只有b=2或0时，可得a=0，2．
又a＜b，
∴存在整数a=0，b=2时，使得关于x的不等式a≤f（x）≤b的解集为{x|a≤x≤b}．

点评 本题考查了二次函数的单调性、“三个二次”的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．