Question

16．已知f（x）=xlnx-x．
（1）求f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值
（2）证明：对任意x∈[$\frac{1}{e}$，e]，$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3x}$+1＜lnx成立．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=lnx+1-1=lnx，x∈[$\frac{1}{e}$，e]．分别解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出单调性极值与最值．
（2）对任意x∈[$\frac{1}{e}$，e]，$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3x}$+1＜lnx成立?$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{4}{3}$＜xlnx-x?$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{4}{3}$＜-1．令g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}$-$\frac{1}{3}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]，利用导数研究其单调性极值与最值即可证明．

解答 （1）解：f′（x）=lnx+1-1=lnx，x∈[$\frac{1}{e}$，e]．
当$\frac{1}{e}≤x＜1$时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当1＜x≤e时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值f（1）=-1，又$f（\frac{1}{e}）$=$-\frac{2}{e}$，f（e）=0，∴函数f（x）取的最大值为0．
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值分别为0，-1．
（2）证明：∵对任意x∈[$\frac{1}{e}$，e]，$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3x}$+1＜lnx成立?$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{4}{3}$＜xlnx-x?$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{4}{3}$＜-1．
令g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}$-$\frac{1}{3}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]，
则g′（x）=-x²+x=-x（x-1），
当$\frac{1}{e}≤x＜1$时，g′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当1＜x≤e时，g′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=1时，函数g（x）取得最大值g（1）=$\frac{1}{2}-\frac{2}{3}$＜0，
∴$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{4}{3}$＜xlnx-x，∴对任意x∈[$\frac{1}{e}$，e]，$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3x}$+1＜lnx成立．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．