Question

15．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2PD，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求PA与面PBD所成的角．

Answer 1

分析 （1）设AB=2AD=2PD=2，由余弦定理得BD=$\sqrt{3}$，由勾股定理得AD⊥BD，由线面垂直得BD⊥PD，由此能证明BD⊥平面PAD，从而得到PA⊥BD．
（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA与面PBD所成的角．

解答 （1）证明：∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2PD，
∴设AB=2AD=2PD=2，则BD=$\sqrt{4+1-2×2×1×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PD，
∵AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，
∵BD?平面PAD，∴PA⊥BD．
（2）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
设设AB=2AD=2PD=2，则P（0，0，1），A（1，0，0），$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-1），
平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设PA与面PBD所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PA}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{PA}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴θ=$\frac{π}{4}$，即PA与面PBD所成的角为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考是查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．