Question

已知（1-ax）ⁿ展开式的第r，r+1，r+2三项的二次式系数构成等差数列，第n+1-r与第n+2-r项的系数之和为0，而（1-ax）ⁿ⁺¹展开式的第r+1与r+2项的二项式系数之比为1：2．
（1）求（1-ax）ⁿ⁺¹展开式的中间项；
（2）求（1-ax）ⁿ的展开式中系数最大的项．

Answer 1

解：（1-ax）ⁿ展开式的第r，r+1，r+2三项的二项式系数构成等差数列，，…①；
第n+1-r与第n+2-r项的系数之和为0，…②；
而（1-ax）ⁿ⁺¹展开式的第r+1与r+2项的二项式系数之比为1：2．即，…③；
由③得n=3r+1，…④
由①得…⑤，
由④⑤解得r=2，n=7，
把r=2，n=7代入②解得a=3．
（1）（1-3x）⁸展开式的中间项为=5670x⁴；
（2）求（1-3x）⁷的展开式中系数最大的项在奇数项中，分别是第一项=1；第三项=189x²，
第五项=35×3⁴x⁴=2835x⁴，第七项=63×3⁴x⁶=5103x⁶．
（1-ax）ⁿ的展开式中系数最大项是第七项=5103x⁶．
分析：（1）利用展开式的第r，r+1，r+2三项的二项式系数构成等差数列，第n+1-r与第n+2-r项的系数之和为0，而（1-ax）ⁿ⁺¹展开式的第r+1与r+2项的二项式系数之比为1：2．列出方程即可求出a，n的值，然后求出中间项．
（2）利用二项式系数的性质，直接求出展开式的系数的最大项即可．
点评：本题是中档题，考查二项式定理系数的性质，考查组合数的求法，考查计算能力．