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已知(1-ax)n展开式的第r,r+1,r+2三项的二次式系数构成等差数列,第n+1-r与第n+2-r项的系数之和为0,而(1-ax)n+1展开式的第r+1与r+2项的二项式系数之比为1:2.
(1)求(1-ax)n+1展开式的中间项;
(2)求(1-ax)n的展开式中系数最大的项.
分析:(1)利用展开式的第r,r+1,r+2三项的二项式系数构成等差数列,第n+1-r与第n+2-r项的系数之和为0,而(1-ax)n+1展开式的第r+1与r+2项的二项式系数之比为1:2.列出方程即可求出a,n的值,然后求出中间项.
(2)利用二项式系数的性质,直接求出展开式的系数的最大项即可.
解答:解:(1-ax)n展开式的第r,r+1,r+2三项的二项式系数构成等差数列,
C
r-1
n
+
C
r+1
n
=2
C
r
n
,…①;
第n+1-r与第n+2-r项的系数之和为0,
C
n-r
n
(-a)n-r
C
n-r+1
n
(-a)n-r+1=0
…②;
而(1-ax)n+1展开式的第r+1与r+2项的二项式系数之比为1:2.即
C
r+1
n+1
C
r
n+1
=2
,…③;
由③得n=3r+1,…④
由①得1+
(n-r)(n-r+1)
(r+1)r
=
2(n-r+1)
r
…⑤,
由④⑤解得r=2,n=7,
把r=2,n=7代入②解得a=3.
(1)(1-3x)8展开式的中间项为
C
4
8
(-3x)4
=5670x4
(2)求(1-3x)7的展开式中系数最大的项在奇数项中,分别是第一项
C
0
7
=1;第三项
C
2
7
(-3x)2
=189x2
第五项
C
4
7
(-3x)4
=35×34x4=2835x4,第七项
C
6
7
(-3x)6
=63×34x6=5103x6
(1-ax)n的展开式中系数最大项是第七项
C
6
7
(-3x)6
=5103x6
点评:本题是中档题,考查二项式定理系数的性质,考查组合数的求法,考查计算能力.
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12
x
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(1)若a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次成等差数列,求n的值;
(2)求证:对任意x1,x2∈[0,2],恒有|F(x1)-F(x2)|≤2n-1(n+2)-1.

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x
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5
6
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