Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-b，g(x)=3a2lnx-2ax(其中a＞0)的图象有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用a表示b，并求b的最大值；
（II）求证：f（x）≥g（x）（x＞0）

Answer 1

分析：（I）设出函数的公共点，对两个函数求导，根据两个函数在这个点上的切线相同，得到两个关系式，整理变化出b的函数式，求出最大值．
（II）构造新函数，对两个函数做差，构造新函数，对新函数求导，得到函数在正数范围上的单调性，求出最小值，最小值等于0，得到不等式．

解答：解：（I）设函数f（x）与函数g（x）的图象有公共点（x₀，y₀）
又f′(x)=x，g′(x)=

3a2

x

-2a
由题意：

1 2 x 0 2 -b=3a2lnx0-2ax0，① x0= 3a2 x0 -2a，②

由②得x₀=a（其中x₀=-3a舍去）
代入到①中得
设h(a)=

5

2

a2-3a2lna?h′(a)=2a(1-3lna)
考虑到a＞0，由h′(a)＞0?0＜a＜e

1

3

，由h′(a)＜0?a＞e

1

3

∴h(a)在(0，e

1

3

]上单调递增，在[e

1

3

，+∞)上单调递减，
故a=e

1

3

时，h(a)即b取得最大值

3

2

e

2

3

．
（II）设F(x)=f(x)-g(x)=

1

2

x2+2ax-3a2lnx-b(x＞0)
F′(x)=

(x-a)(x+3a)

x

(x＞0)
∴F（x）在（0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，
故F（x）≥F（a）=f（a）-g（a）=f（x₀）-g（x₀）=0，
即f（x）≥g（x）

点评：本题考查导数在求最值的应用，本题解题的关键是构造新函数，根据新函数的性质，得到要求的结论，注意本题的运算不要出错．