Question

(本小题共12分)如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）证明：见解析；(Ⅱ)见解析；

(Ⅲ)直线与平面所成角的正弦值为. 

【解析】本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，求直线和平面所成的角，体现了数形结合的数学思想，把CB和平面PDC所称的角的正弦值转化为CB和平面PDC的法向量夹角的余弦值，是解题的难点和关键

（Ⅰ）由条件先证明四边形ABFD为正方形，由等腰三角形的性质证明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，从而证得PO⊥平面ABCD．

（Ⅱ）过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出 OE.PF的坐标

可得 OE∥PF，从而证得OE∥平面PDC．

（Ⅲ） 设平面PDC的法向量为

n=(x₁，y₁，z₁)，直线CB与平面PDC所成角θ，求出一个法向量为

CB= (-2，-2，0)，可得n和CB

夹角的余弦值，即为直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

（Ⅰ）证明：设为的中点，连接，则

∵，，，∴四边形为正方形，

∵为的中点，∴为的交点，

∵， ，

∵，

∴，，

在三角形中，，∴，…………4分

∵，∴平面；            …………5分

(Ⅱ)方法1：连接，∵为的中点，为中点，∴，

∵平面，平面，

∴平面.  …9分

方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知得，，，，，

，则，，，.∴∴

∵平面，平面，

∴平面；       …………9分

(Ⅲ) 设平面的法向量为，直线与平面所成角，

则，即，解得，令，

则平面的一个法向量为，又

则，

∴直线与平面所成角的正弦值为.     …………12分