Question

2．从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．
（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；
（Ⅱ）若该批产品共20件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列与期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设该批产品中任取1件是二等品为事件B，根据事件A的概率求得事件B的概率即可．
（Ⅱ）利用超几何分布求得随机变量的概率，并求得X的分布列．

解答 解：（Ⅰ）∵事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，设事件B：“该批产品中任取1件是二等品”
∴P（B）=1-p²=0.96
求得p=0.2．
（Ⅱ）∵该批产品共20件，由（Ⅰ）知其二等品有20×0.2=4件，
显然X=0，1，2．故$P（X=0）=\frac{{C_{16}^2}}{{C_{20}^2}}=\frac{12}{19}$．$P（X=1）=\frac{{C_{16}^1C_4^1}}{{C_{20}^2}}=\frac{32}{95}$．$P（X=2）=\frac{C_4^2}{{C_{20}^2}}=\frac{3}{95}$．
所以X的分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{12}{19}$	$\frac{32}{95}$	$\frac{3}{95}$

∴EX=$0×\frac{12}{19}+1×\frac{32}{95}+2×\frac{3}{95}$=$\frac{38}{95}$

点评 本题主要考查随机变量的概率分布列，以及超几何分布的概率求法，属于中档题型．