Question

已知f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx，x∈[0，

π

2

]．
（1）求函数f（x）的最值，及相应的x值；
（2）若|f（x）-a|≤2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数g（x）=-2af（x）+2a+b，是否存在常数a，b∈Z，使得g（x）的值域为[-2，4]？若存在，求出相应a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最值以及此时x的值；
（2）绝对值不等式变形后，根据函数f（x）的值域列出不等式组，求出不等式组的解集即可得到a的范围；
（3）求出f（x）的值域，假设存在a与b，分两种情况考虑：（i）a小于0时，（ii）a大于0时，分别列出关于a的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．

解答：解：（1）f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx=1-cos2x+

3

sin2x=2sin（2x-

π

6

）+1，
∵0≤x≤

π

2

，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）_max=3；当2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0时，f（x）_min=0；
（2）由|f（x）-a|≤2，得a-2≤f（x）≤a+2，
若|f（x）-a|≤2，x∈[0，

π

2

]恒成立，
根据f（x）∈[0，3]，得到

a-2≤0 a+2≥3

，
解得：1≤a≤2；
（3）由（1）知0≤f（x）≤3，假设a，b存在，分两种情况考虑：
（i）当a＜0时，根据题意得：

2a+b=-2 -6a+2b+a=4

，
解得：

a=-1 b=0

，满足题意；
（ii）当a≥0时，根据题意得：

2a+b=4 -6a+2a+b=-2

，
解得：

a=1 b=2

，满足题意．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及函数恒成立问题，熟练掌握公式是解本题的关键．