Question

18．在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=-1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{ST}$=0，设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量$\overrightarrow{SM}$与$\overrightarrow{NQ}$共线．

Answer 1

分析 （1）设P（x₀，y₀），则S（-1，y₀），由此利用向量的数量积能求出曲线C的方程．
（2）设Q（x₁，y₁），则${{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}$，从而y²=4x，p=2，焦点F（1，0），N（-1，0），由PQ过F，得${x}_{1}=\frac{1}{{x}_{0}}$，${y}_{1}=-\frac{4}{{y}_{0}}$，进而$\overrightarrow{SM}$=（$\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{2{x}_{0}}，-\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{2{y}_{0}}$），$\overrightarrow{NQ}$=（$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}}，-\frac{4}{{y}_{0}}$），由此能证明向量$\overrightarrow{SM}$与$\overrightarrow{NQ}$共线．

解答 解：（1）设P（x₀，y₀），则S（-1，y₀），
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{ST}$=（x₀，y₀）•（4，-y₀）=4${x}_{0}-{{y}_{0}}^{2}$=0，
∴${{y}_{0}}^{2}=4{x}_{0}$．
∴曲线C：y²=4x．
证明：（2）设Q（x₁，y₁），则${{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}$，
y²=4x，p=2，焦点F（1，0），N（-1，0），
∵PQ过F，∴x₀x₁=-$\frac{{p}^{2}}{4}$=1，
${y}_{0}{y}_{1}=-{p}^{2}=-4$，
∴${x}_{1}=\frac{1}{{x}_{0}}$，${y}_{1}=-\frac{4}{{y}_{0}}$，
∴${x}_{M}=\frac{{x}_{0}+{x}_{1}}{2}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+1}{2{x}_{0}}$，
${y}_{m}=\frac{{{y}_{0}+{y}_{1}}^{\;}}{2}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4}{2{y}_{0}}$，
∴$\overrightarrow{SM}$=（$\frac{{{x}_{0}}^{2}+1}{2{x}_{0}}+1，\frac{{{y}_{0}}^{2}-4}{2{y}_{0}}-{y}_{0}$）=（$\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{2{x}_{0}}，-\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{2{y}_{0}}$），
$\overrightarrow{NQ}$=（x₁+1，y₁）=（$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}}，-\frac{4}{{y}_{0}}$），
假设$\overrightarrow{SM}$=$λ\overrightarrow{NQ}$成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{2{x}_{0}}=λ•\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}}}\\{-\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{2{y}_{0}}=λ•\frac{-4}{{y}_{0}}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{{x}_{0}+1}{2}}\\{λ=\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{8}=\frac{4{x}_{0}+4}{8}=\frac{{x}_{0}+1}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{SM}=\frac{{x}_{0}+1}{2}\overrightarrow{NQ}$，
∴向量$\overrightarrow{SM}$与$\overrightarrow{NQ}$共线．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查向量共线的证明，考查抛物线、直线方程、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．