Question

6．已知函数$f（x）=2sin{（ωx+φ）_{\;}}（ω＞0，|φ|≤\frac{π}{2}）$的图象如图．
（1）根据函数的图象求该函数的解析式．
（2）求函数f（x）在$x∈[0，\frac{π}{2}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）由图可求T，利用周期公式可求ω，当x=-$\frac{π}{12}$时，y=0，代入f（x）=2sin（2x+φ），结合范围|φ|≤$\frac{π}{2}$，可求φ的值，即可得解函数解析式；
（2）由x的范围可求$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，利用正弦函数的图象和性质可求值域．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由图知$\frac{T}{2}$=$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{2}$，…（2分）
所以T=π，ω=2．…（3分）
当x=-$\frac{π}{12}$时，y=0，代入f（x）=2sin（2x+φ），
得2sin[2×（-$\frac{π}{12}$）+φ]=0，
所以φ-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，…（4分）
又|φ|≤$\frac{π}{2}$，
所以φ=$\frac{π}{6}$．…（5分）
所以f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．…（6分）
（2）由题意得当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，…（8分）
∴$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$时，f（x）_min=-1；…（10分）
$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$时，y_max=2．
∴f（x）的值域为[-1，2]．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．