已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right..以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12．直线l过点$$．(Ⅰ)若直线l与曲线C交于A.B两点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12．直线l过点$（-2\sqrt{2}，0）$．
（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值；
（Ⅱ）求曲线C的内接矩形的周长的最大值．

分析（Ⅰ）根据题意，将曲线C的极坐标方程变形为标准方程，由直线过的点的坐标可得m的值，将直线的参数方程与曲线C的方程联立，可得t²-2t-2=0，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；
（Ⅱ）写出曲线C的参数方程，分析可得以P为顶点的内接矩形周长l=$4×（{2\sqrt{3}cosθ+2sinθ}）=16sin（{θ+\frac{π}{3}}）（{0＜θ＜\frac{π}{2}}）$，由正弦函数的性质分析可得答案．

解答解：（Ⅰ）根据题意，曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，
则其标准方程为 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$，其左焦点为$（{-2\sqrt{2}，0}）$，
直线l过点$（-2\sqrt{2}，0）$，其参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），
则$m=-2\sqrt{2}$，
将直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-2\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$与曲线C的方程 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$联立，
得t²-2t-2=0，
则|FA|•|FB|=|t₁t₂|=2．
（Ⅱ）由曲线C的方程为 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$，
可设曲线C上的动点$P（{2\sqrt{3}cosθ，2sinθ}）$，
则以P为顶点的内接矩形周长l=$4×（{2\sqrt{3}cosθ+2sinθ}）=16sin（{θ+\frac{π}{3}}）（{0＜θ＜\frac{π}{2}}）$，
又由sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤1，则l≤16；
因此该内接矩形周长的最大值为16．

点评本题考查椭圆、直线的极坐标方程、参数方程，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆、直线的普通方程．

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