Question

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAcosC+csinAcosA=$\frac{1}{3}$c，D是AC的中点，且cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，BD=$\sqrt{26}$．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的最短边的边长．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简，根据和与差的公式，即可求出角A的大小；
（2）根据正余弦定理建设关系，求解出，a，b，c就知道△ABC的最短边的边长．

解答 解：（1）∵cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
又∵asinAcosC+csinAcosA=$\frac{1}{3}$c，
∴正弦定理化简可得：sinAcosCsinA+sinAsinCcosA=$\frac{1}{3}$sinC．
即sinA（cosCsinA+sinCcosA）=$\frac{1}{3}$sinC
∴sinAsinB=$\frac{1}{3}$sinC，
∵A+B+C=π，
∴C=π-（A+B）
∴sinAsinB=$\frac{1}{3}$sin（A+B）
$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinA=$\frac{1}{3}×$sinAcosB+$\frac{1}{3}$cosAsinB，
∴sinA=cosA．
即tanA=1，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{4}$．
（2）D是AC的中点，且cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，BD=$\sqrt{26}$，
根据余弦定理得c²+$\frac{1}{4}$b²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$bc=26
∵$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinA=$\frac{1}{3}$sinC，且sinB×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$sinC
∴$\frac{9}{5}{a}^{2}+\frac{1}{10}{a}^{2}-\frac{3}{5}{a}^{2}=26$
解得：a=2$\sqrt{5}$．
b=2$\sqrt{2}$，
c=6
∴△ABC的最短边的边长2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力．属于中档题．