Question

17．在平面直角坐标系中，已知圆A过直线y=x和圆x²+y²=4的交点，且被交点所在的弦在圆A中所对的圆心角为$\frac{π}{3}$，则圆A的标准方程为（x-$\sqrt{6}$）²+（y+$\sqrt{6}$）²=16或（x+$\sqrt{6}$）²+（y-$\sqrt{6}$）²=16．

Answer 1

分析 由题意，圆A过直线y=x和圆x²+y²=4的交点，那么圆心在直线y=-x上，根据被交点所在的弦在圆A中所对的圆心角为$\frac{π}{3}$，弦长d=2，即可求半径，从而求得圆A的标准方程．

解答 解：由题意，圆A过直线y=x和圆x²+y²=4的交点，那么圆心在直线y=-x上，弦长d=2，
设圆心（a，-a），被交点所在的弦在圆A中所对的圆心角为$\frac{π}{3}$，
∴r=4
圆心到直线x-y=0的距离d=$\frac{|2a|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{tan\frac{π}{6}}$，
解得a=$±\sqrt{6}$．
半径r=4．
∴得圆A的标准方程为（x-$\sqrt{6}$）²+（y+$\sqrt{6}$）²=16或（x+$\sqrt{6}$）²+（y-$\sqrt{6}$）²=16．
故答案为：（x-$\sqrt{6}$）²+（y+$\sqrt{6}$）²=16或（x+$\sqrt{6}$）²+（y-$\sqrt{6}$）²=16．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线被截得的弦长与圆心，交点构成直角三角形是解决本题的关键．