Question

16．数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}$，a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若${b_n}=\frac{1}{{{{log}_3}{a_{n+1}}•{{log}_3}{a_{n+2}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）知${b_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）由已知${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}$①，
得${S_{n-1}}=\frac{3}{2}{a_{n-1}}-\frac{1}{2}$，（n≥2）②，
①-②得${a_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{3}{2}{a_{n-1}}$，即a_n=3a_n-1（n≥2），
又a₁=1，所以数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，即${a_n}={3^{n-1}}$．
（2）由（1）知${b_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，
∴${T_n}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．