Question

4．已知两个等差数列{a_n}、{b_n}，它们的前n项和分别是S_n、T_n，若$\frac{S_n}{T_n}$=$\frac{2n+3}{3n-1}$，则$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{b_3}+{b_5}}}$+$\frac{a_4}{{{b_2}+{b_6}}}$=$\frac{51}{40}$．

Answer 1

分析 利用等差中项即得$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$=$\frac{{S}_{7}}{{T}_{7}}$，进而计算即得结论．

解答 解：∵数列{a_n}、{b_n}均为等差数列，
∴S₇=$\frac{7（{a}_{1}+{a}_{7}）}{2}$=7a₄，T₇=$\frac{7（{b}_{1}+{b}_{7}）}{2}$=7b₄，
又∵$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{b_3}+{b_5}}}$=$\frac{2{a}_{4}}{2{b}_{4}}$=$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$，$\frac{a_4}{{{b_2}+{b_6}}}$=$\frac{{a}_{4}}{2{b}_{4}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$，
∴$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{b_3}+{b_5}}}$+$\frac{a_4}{{{b_2}+{b_6}}}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$，
∵$\frac{S_n}{T_n}$=$\frac{2n+3}{3n-1}$，
∴$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$=$\frac{{S}_{7}}{{T}_{7}}$=$\frac{2×7+3}{3×7-1}$=$\frac{17}{20}$，
∴$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{b_3}+{b_5}}}$+$\frac{a_4}{{{b_2}+{b_6}}}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{17}{20}$=$\frac{51}{40}$，
故答案为：$\frac{51}{40}$．

点评 本题考查等差数列的简单性质，利用等差中项是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．