Question

14．（1）在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作一个钝角θ，它的终边交单位圆于P点．已知P点的纵坐标为$\frac{4}{5}$．求$\frac{{cos（π-θ）+sin（{\frac{3π}{2}-θ}）}}{tan（π+θ）+cos（2π-θ）}$的值．
（2）若对任意θ∈R，不等式cos²θ+2msinθ-2m-2＜0恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosθ和sinθ的值，再利用诱导公式求得所给式子的值．
（2）由题意可得 （sinθ-m）²-m²+2m+1＞0 恒成立，即f（t）=（t-m）²-m²+2m+1＞0 恒成立，t∈[-1，1]．再利用二次函数的性质分类讨论求得f（t）的最小值，再由f（t）的最小值大于零，求得m的范围．

解答 解：（1）在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作一个钝角θ，它的终边交单位圆于P点，
若P点的纵坐标为$\frac{4}{5}$，则点P的横坐标为-$\frac{3}{5}$，即cosθ=-$\frac{3}{5}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{{cos（π-θ）+sin（{\frac{3π}{2}-θ}）}}{tan（π+θ）+cos（2π-θ）}$=$\frac{-cosθ-cosθ}{tanθ+cosθ}$=$\frac{\frac{6}{5}}{-\frac{4}{3}+（-\frac{3}{5}）}$=-$\frac{18}{29}$．
（2）若对任意θ∈R，不等式cos²θ+2msinθ-2m-2＜0恒成立，-sin²θ+2msinθ-2m-1＜0恒成立，
即-（sinθ-m）²+m²-2m-1＜0 恒成立，即 （sinθ-m）²-m²+2m+1＞0 恒成立，
即f（t）=（t-m）²-m²+2m+1＞0 恒成立，t∈[-1，1]．
故当m＜-1 时，f（t）的最小值为f（-1）=（-1-m）²-m²+2m+1＞0，求得m＞-$\frac{1}{2}$ （舍去），故此时m无解．
当m∈[-1，1]时，f（t）的最小值为f（m）=-m²+2m+1＞0，求得1-$\sqrt{2}$＜m＜1+$\sqrt{2}$，故此时m∈（1-$\sqrt{2}$，1]．
m＞1 时，f（t）的最小值为f（1）=（1-m）²-m²+2m+1＞0，求得m＞1．
综上可得，要求的实数m的范围为（1-$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，二次函数的性质，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．