Question

3．如图，F₁、F₂分别是椭圆：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF₂与椭圆C的一个交点，∠F₁AF₂=60°
1）求椭圆C的离心率；
2）已知△AF₁B的面积为40$\sqrt{3}$，求椭圆方程．

Answer 1

分析 （1）通过∠F₁AF₂=60°及对称性即得结论；
（2）通过设|BF₂|=t，则|BF₁|=2a-t，利用余弦定理可得t=$\frac{3}{5}$a，利用S=$\frac{1}{2}$|AF₁||AB|sin60°=40$\sqrt{3}$，计算可得a²=100，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵∠F₁AF₂=60°，
∴∠F₂AO=30°，
又∵△AOF₂为直角三角形，
∴a=2c，
即椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2c}$=$\frac{1}{2}$；
（2）设|BF₂|=t，则|BF₁|=2a-t，
又∵∠BF₂F₁=120°，|F₁F₂|=2c，
∴|BF₁|²=|BF₂|²+|F₁F₂|²-2|BF₂||F₁F₂|cos120°
即（2a-t）²=t²+a²+at，
整理得：3a²=5at，
∴t=$\frac{3}{5}$a，
∵△AF₁B面积S=40$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$|AF₁||AB|sin60°=40$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}$•a•（a+$\frac{3}{5}$a）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=40$\sqrt{3}$，
整理得：a²=100，
解得：a=10，
∴c=$\frac{1}{2}$a=5，b²=a²-c²=100-25=75，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{75}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，涉及余弦定理、三角形面积公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．