Question

16．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，AB∥DE，AD=DE=2CD=2，四边形ABED的面积为3，∠CAD=30°．
（1）求证：直线AC⊥平面CDE；
（2）若G为AD的中点，求三棱锥G-BCE的体积．

Answer 1

分析 （1）证明AC⊥CD，DE⊥AC，即可证明直线AC⊥平面CDE；
（2）由DE⊥平面ACD，可得平面ABED⊥平面ACD，在平面ACD内，作CP⊥AD交AD于点P，可得CP⊥平面ABED，利用V_{三棱锥G-CBE}=V_{三棱锥C-BGE}=$\frac{1}{3}CP$•S_△BGE，S_△BGE=S_梯形ABED-S_△ABG-S_△DEG，即可得出

解答 （1）证明：∵AD=2，CD=1，∠CAD=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$，
∴AC⊥CD，
∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，
∴DE⊥平面ACD，
∵AC?平面ACD，
∴DE⊥AC，
∵DE∩CD=D，
∴直线AC⊥平面CDE；
（2）解：∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，AD=DE=2，四边形ABED的面积为3，
∴$\frac{1}{2}$（AB+2）×2=3，
∴AB=1，
∵DE⊥平面ACD，
∴平面ABED⊥平面ACD，
在平面ACD内，作CP⊥AD交AD于点P，
又平面ABED∩平面ACD=AD，∴CP⊥平面ABED，
∴CP为三棱锥C-BGE的高，
∵V_{三棱锥G-CBE}=V_{三棱锥C-BGE}=$\frac{1}{3}CP$•S_△BGE，
S_△BGE=S_梯形ABED-S_△ABG-S_△DEG=$\frac{（1+2）×2}{2}-\frac{1}{2}×{1}^{2}-\frac{1}{2}×1×2$=$\frac{3}{2}$，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}CP•AD$=$\frac{1}{2}AC•CD$，
∴CP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴V_{三棱锥G-CBE}=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了线面、面面垂直的判定性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．