Question

现有变换公式T：

4 5 x+ 3 5 y=x′ 3 5 x- 4 5 y=y′

可把平面直角坐标系上的一点P（x，y）变换到这一平面上的一点P′（x′，y′）．
（1）若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2

2

，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2．求该椭圆C的标准方程，并求出其两个焦点F₁、F₂经变换公式T变换后得到的点F₁^′和F₂^′的坐标；
（2）若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P'与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点．求（1）中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标；
（3）在（2）的基础上，试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的椭圆和双曲线在变换T下的不动点的存在情况和个数．

Answer 1

分析：（1）先根据题a²-b²=2，a²+b²=4，联立方程组，求的a和b，则椭圆方程方程可得．根据椭圆的性质可气的焦点坐标，代入变换公式中即可求的点F₁^′和F₂^′的坐标．
（2）依题意设不动点P的坐标为（m，n）依题意则有

4

5

m+

3

5

n=m，求的m和n的关系代入椭圆方程中求的n和m，则不动点坐标可得．
（3）设曲线M在变换T下的不动点P（x，y）分情况看椭圆和双曲线时，先根据变换公式求的x和y的关系，代入椭圆或双曲线方程看方程得解．

解答：解：（1）依题意可知

a2-b2=2 a2+b2=4

解得a²=3，b²=1
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1，焦点坐标为F₁（

2

，0），F₂（-

2

，0）
依题意F₁^′的坐标为（

4 2

5

，

3 2

5

），F₂^′（-

4 2

5

，-

3 2

5

）
（2）依题意设不动点P的坐标为（m，n）依题意则有

4

5

m+

3

5

n=m，整理的m=3n，代入椭圆方程得

9n2

3

+n2=1，解得n=

1

2

，m=

3

2

或n=-

1

2

，m=-

3

2

∴不动点坐标为（

1

2

，

3

2

）（-

1

2

，-

3

2

）
（3）由（2）可知，曲线M在变换T下的不动点P（x，y）需满足
情形一：据题意，不妨设椭圆方程为

x2

m

+

y2

n

=1（m＞0，n＞0），
则有

(3y)2

m

+

y2

n

=1?

9n+m

mn

y2=1．
因为m＞0，n＞0，所以y2=

mn

9n+m

＞0恒成立，
因此椭圆在变换T下的不动点必定存在，且一定有2个不动点．
情形二：设双曲线方程为

x2

m

+

y2

n

=1（mn＜0），
则有

(3y)2

m

+

y2

n

=1?

9n+m

mn

y2=1，因为mn＜0，
故当9n+m=0时，方程

9n+m

mn

y2=1无解；
当9n+m≠0时，故要使不动点存在，则需y2=

mn

9n+m

＞0，
因此，当且仅当

mn＜0 9n+m＜0

时，双曲线在变换T下一定有2个不动点．否则不存在不动点．
进一步分类可知，
（i）当n＜0，m＞0时，

m

9n+m

≤-1?9n+m＜0?9＞-

m

n

．
即双曲线的焦点在
轴上时，需满足0＜-

m

n

＜9时，双曲线在变换
下一定有2个不动点．否则不存在不动点．
（ii）当n＞0，m＜0时，?

mn

9n+m

＞0?9n+m＜0?-

m

n

＞9．
即双曲线的焦点在y轴上时，需满足-

m

n

＞9时，双曲线在变换T下一定有2个不动点．否则不存在不动点．

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生对圆锥曲线知识的综合掌握．