Question

（本小题满分13分）如图，三棱柱中，面，,，，为的中点。

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点，要证B1A∥平面 ,只要利用三角形中位线的性质证明 即可；

（Ⅱ）由题设易知 两两互相垂直，以C为坐标原点，所在直线为x轴， 所在直线为y轴， 所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量为 ,结合平面BDC的法向量为 ,利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值．

试题解析：【解析】
（1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点，

∵D为AC中点， ∴OD∥B1A 2分

又B1A平面BDC1，OD平面BDC1

∴B1A∥平面BDC1 4分

（也可证明且AB1平面BDC1）

（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1

∴CC1⊥面ABC 则BC⊥平面AC1，CC1⊥AC

如图以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则C1（0,0,3）B（0,2,0）D（1,0,0）C（0,0,0） 7分

∴设平面的法向量为，由

得，即，取， 则 9分

又平面BDC的法向量为 10分

cos 11分

又二面角C1—BD—C为锐二面角 12分

∴二面角C1—BD—C的余弦值为 13分

考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、利用空间向量解决立体几何中的夹角问题．