Question

函数f（x）的导函数f'（x）=2x+b，且f（0）=c，g(x)=

x

f(x)

．
（1）若c＞0，g（x）为奇函数，且g（x）的最大值为

1

2

求b，c的值；
（2）若函数F（x）=f（x）+2-c定义域为[-1，1]，且F（x）的最小值为2，当函数f（x）在区间[-1，1]上有零点，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由条件得出f（x）=x²+bx+c，根据g（x）为奇函数求得b=0，g(x)=

x

x2+c

=

1

x+ c x

，再结合基本不等式求出最大值，列出关于c的方程，即可求得c值．
（2）先配方：F(x)=x2+bx+2=(x+

b

2

)2+2-

b2

4

再对b进行分类讨论：-

b

2

＞1，当-

b

2

＜-1，-1≤-

b

2

≤1，求得F（x）的最小值得到b值，后根据f（x）=x²+c=0的区间[-1，1]上有解，即可得出c的取值范围．

解答：解：（1）∵f'（x）=2x+b，且f（0）=c，则f（x）=x²+bx+c，∴g(x)=

x

f(x)

=

x

x2+bx+c

，
∵g（x）为奇函数，∴g（-x）=-g（x）恒成立，∴b=0，g(x)=

x

x2+c

=

1

x+ c x

∵g（0）=0且x+

c

x

∈(-∞，-2

c

]∪[2

c

，+∞)，∴g(x)∈[-

1

2 c

，

1

2 c

]，
由

1

2 c

=

1

2

得c=1
（2）F(x)=x2+bx+2=(x+

b

2

)2+2-

b2

4

当-

b

2

＞1，即b＜-2时F（x）_min=F（1）=3+b=2得b=-1舍去
当-

b

2

＜-1，即b＞2时F（x）_min=F（-1）=3-b=2得b=1舍去-1≤-

b

2

≤1即-2≤b≤2F(x)min=F(-

b

2

)=2-

b2

4

=2，得b=0满足条件
∴f（x）=x²+c，由f（x）=x²+c=0得c=-x²，∵x∈[-1，1]，∴-x²∈[-1，0]
∵f（x）=x²+c=0的区间[-1，1]上有解，c的取值范围为[-1，0]

点评：本小题主要考查导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．