Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足4nSn=（n+1）2an（n∈N*）．a1=1
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn ， 求证：Tn ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：∵4nSn=（n+1）2an（n∈N*），（1）
∴4（n﹣1）Sn﹣1=n2an﹣1 ， （2）
由（1）（2），得：an=Sn﹣Sn﹣1= an﹣ an﹣1（n≥2），
整理得： = = =1，
∴an=n3 ．
（Ⅱ）证明：∵bn= ，a1=1，
∴b1=1
当n≥2时，bn= ＜ = ﹣ ，
∴数列{bn}的前n项和为Tn=b1+b2+…+bn＜1+ + + +…+
＜1+ +（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）= ﹣ ＜
【解析】（Ⅰ）利用递推关系式可得an=Sn﹣Sn﹣1= an﹣ an﹣1 ， 整理得： = = =1，于是可求an；（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=n3 ， 则bn= = ，当n≥2时，利用放缩法得：bn= ＜ = ﹣ ，从而可证：Tn＜ ．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)．