Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的减函数，函数y=f（x-1）的图象关于点 （1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式 f（x²+y-1）+f（-x²+2x-1）≤0恒成立，4x²+y²的最小值是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：根据函数y=f（x-1）的图象关于点 （1，0）对称，可得函数是奇函数，利用函数y=f（x）是定义在R上的减函数，可得y≥-2x+2，设t=4x²+y²，利用换元法，即可求4x²+y²的最小值．

解答：解：∵函数y=f（x-1）的图象关于点 （1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点 （0，0）对称，即函数是奇函数
∴不等式f（x²+y-1）+f（-x²+2x-1）≤0等价于不等式f（x²+y-1）≤f（x²-2x+1）
∵函数y=f（x）是定义在R上的减函数，
∴x²+y-1≥x²-2x+1，∴y≥-2x+2
设t=4x²+y²，则x=

t cosα

2

，y=

t

sinα，∴

t

sinα≥-

t

cosα+2
∴

2t

sin（α+

π

4

）≥2
∴

2t

≥2，∴t≥2
即4x²+y²的最小值是2
故选C．

点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．