Question

【题目】已知函数．

（I）求曲线在点处的切线方程．

（II）求证：当时， ．

（III）设实数使得对恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（I）；（II）见解析；（III）最大值为.

【解析】试题分析：（I），得，又，可得在处切线方程为．

（II）令，求导得出的增减性，然后由得证.

（III）由（II）可知，当时， 对恒成立. 时，令，求导，可得上单调递减，当时，F, 即当时， ，对不恒成立，可得k的最大值为2.

试题解析：（I）∵，

，

∴，

∴．

∵，

， ，

∴在处切线方程为．

（II）证明：令，

，

，

∴，

∴，

即在时， ．

（III）由（II）知，在时，

对恒成立，

当时，令，

则，

，

∴当时， ，

此时在上单调递减，

当时， ，

即，

∴当时， ，

对不恒成立，

∴最大值为．

点晴：本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题.要证明一个不等式，我们可以先根据题意所给条件化简这个不等式，如第二问的不等式，可以转化为，第三问的不等式可以转化为，划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.