Question

【题目】如图，在四棱柱中， 底面， ， ，且， ．点在棱上，平面与棱相交于点．

（Ⅰ）求证： 平面．

（Ⅱ）求证： 平面．

（Ⅲ）求三棱锥的体积的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意证得根据线面平行的判定定理即可证明A1F∥平面B1CE；
（Ⅱ）由题意证得，根据线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面CDD1C1；（Ⅲ）根据， 为定值，即为长度为，而，由题意得即求得三棱锥体积的范围.

试题解析：

（Ⅰ）∵在棱柱中，

平面平面，

又∵平面平面，

平面平面，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面．

（Ⅱ）在底面中，

， ，

， ， ，

∴，

，

，

∴， ，

∵平面，

平面，

∴，

在四棱柱中，

，

∴，

∵平面，

平面，

，

∴平面．

（Ⅲ）

，

∵为定值，即为长度为．

而，过点作，

∴，

∵长度界于与之间，

即，

∴ ，

∴三棱锥体积在间．

即三棱锥的体积的取值范围