【题目】如图, 面
,
,
,
为
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得
,若存在,求出
的值,若不存在,说明理由.
【答案】()见解析(
)
(
)见解析.
【解析】试题分析:(1),
,所以
平面
;(2)建立空间直角坐标系,求得平面
和平面
的法向量,求得二面角的余弦值;(3)由点
在线段
上,则
,
,由
,得
,所以存在点
。
试题解析:
()证明:∵
平面
,
平面
,
∴.
∵,
,
∴平面
.
又平面
,
∴.
∵,
为
的中点,
∴.
又∵,
∴平面
.
()如图,在平面
内作
,则
,
,
两两垂直,建立空间直角坐标系
.则
,
,
,
,
.
,
,
.
设平面的法向量为
,则:
,即
,令
,则
.
∴.
由()可知
为平面
的一个法向量,
∴.
∵二面角为锐角,
∴二面角的余弦值为
.
()证明:设
是线段
上一点,且
,
,
即,
∴,
,
.
∴.
由,得
,
∴线段上存在点
,使得
,此时
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是
,且各阶段通过与否相互独立.
(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率;
(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为,求
的分布列、数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱柱中,
底面
,
,
,且
,
.点
在棱
上,平面
与棱
相交于点
.
(Ⅰ)求证: 平面
.
(Ⅱ)求证: 平面
.
(Ⅲ)求三棱锥的体积的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于数集,其中
,
,定义向量集
.若对于任意
,使得
,则称
具有性质
.例如
具有性质
.
()若
,且
具有性质
,求
的值.
()若
具有性质
,求证:
,且当
时,
.
()若
具有性质
,且
,
(
为常数),求有穷数列
,
,
,
的通项公式.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,设点
是椭圆
:
上一点,从原点
向圆
:
作两条切线分别与椭圆
交于点
,
,直线
,
的斜率分别记为
,
.
(1)求证: 为定值;
(2)求四边形面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在极坐标系中,曲线的方程为
,以极点为原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,曲线
的参数方程为
,(
为参数)
(1)求曲线的参数方程和曲线
的普通方程;
(2)求曲线上的点到曲线
的距离的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}的首项,
,
.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)记,若Sn<100,求最大正整数n;
(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列,且am-1,as-1,an-1成等比数列?如果存在,请给以证明;如果不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】刘徽(约公元 225 年—295 年)是魏晋时期伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基人之一,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的古代数学遗产. 《九章算术·商功》中有这样一段话:“斜解立方,得两壍堵. 斜解壍堵,其一为阳马,一为鳖臑.” 刘徽注:“此术臑者,背节也,或曰半阳马,其形有似鳖肘,故以名云.” 其实这里所谓的“鳖臑(biē nào)”,就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥. 如图,在三棱锥中,
垂直于平面
,
垂直于
,且
,则三棱锥
的外接球的球面面积为__________.
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