Question

7．函数y=$\frac{{a}^{2}}{co{s}^{2}x}$+$\frac{{b}^{2}}{si{n}^{2}x}$（a＞b＞0，0＜x＜$\frac{π}{2}$）的最小值是（a+b）²．

Answer 1

分析 由sin²x+cos²x=1，运用乘1法，展开后由基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：函数y=$\frac{{a}^{2}}{co{s}^{2}x}$+$\frac{{b}^{2}}{si{n}^{2}x}$=（sin²x+cos²x）（$\frac{{a}^{2}}{co{s}^{2}x}$+$\frac{{b}^{2}}{si{n}^{2}x}$）
=a²+b²+$\frac{{a}^{2}si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$+$\frac{{b}^{2}co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$
≥a²+b²+2ab$\frac{sinx}{cosx}$•$\frac{cosx}{sinx}$=a²+b²+2ab=（a+b）²，
当且仅当asin²x=bcos²x，即为tanx=$\sqrt{\frac{b}{a}}$时，
取得最小值（a+b）²，
故答案为：（a+b）²．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，注意乘1法的运用，属于中档题．