Question

【题目】已知函数，．

（1）当为何值时，轴为曲线的切线；

（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.

【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.

试题解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.

因此，当时，轴是曲线的切线.

（Ⅱ）当时，，从而，

∴在（1，+∞）无零点.

当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.

当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.

（ⅰ）若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.

（ⅱ）若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.

①若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.

②若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；

③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.…10分

综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.