设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*.
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有.
(1)a2=4.(2)an=n2(n≥2),(3)见解析
【解析】(1)【解析】
∵=an+1-n2-n-,n∈N*.
∴当n=1时,2a1=2S1=a2--1-=a2-2.
又a1=1,∴a2=4.
(2)【解析】
∵=an+1-n2-n-,n∈N*.
∴2Sn=nan+1-n3-n2-n=nan+1-,①
∴当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-,②
由①-②,得2Sn-2Sn-1=nan+1-(n-1)an-n(n+1).
∵2an=2Sn-2Sn-1,
∴2an=nan+1-(n-1)an-n(n+1),∴-=1.
∴数列是以首项为=1,公差为1的等差数列.
∴=1+1×(n-1)=n,∴an=n2(n≥2),
当n=1时,上式显然成立.∴an=n2,n∈N*.
(3)证明:由(2)知,an=n2,n∈N*,
①当n=1时,=1<,∴原不等式成立.
②当n=2时,=1+<,∴原不等式亦成立.
③当n≥3时,∵n2>(n-1)·(n+1),∴,
∴
<1+
=1+
=1+
=1+=,
∴当n≥3时,原不等式亦成立.
综上,对一切正整数n,有.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第三章第4课时练习卷(解析版) 题型:解答题
已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第三章第1课时练习卷(解析版) 题型:解答题
已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R.
(1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;
(2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第三章第1课时练习卷(解析版) 题型:填空题
若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0,则角θ的终边一定落在第________象限.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第七章第3课时练习卷(解析版) 题型:解答题
已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(其中a>0且a≠1).记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第七章第2课时练习卷(解析版) 题型:解答题
ABCD为直角梯形,∠BCD=∠CDA=90°,AD=2BC=2CD,P为平面ABCD外一点,且PB⊥BD.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)若PC与CD不垂直,求证:PA≠PD.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第七章第1课时练习卷(解析版) 题型:填空题
观察下列各式:a+b=1;a2+b2=3;a3+b3=4;a4+b4=7;a5+b5=11;…;则a10+b10=________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第一章第1课时练习卷(解析版) 题型:填空题
设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数为________.
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