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【题目】已知数列{an}满足a1= 且an+1= .设bn+2=3 ,数列{cn}满足cn=anbn
(1)求数列{bn}通项公式;
(2)求数列{cn}的前n项和Sn
(3)若cn +m﹣1对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.

【答案】
(1)解:由 得,数列{an}是公比为 的等比数列,

所以 ,即bn=3n+1


(2)解:由(1)知, ,bn=3n+1,

,①

,②

①﹣②两式相减得

=

=

=

所以


(3)解:因为

所以 =

则数列{cn}单调递减,

∴当n=1时,cn取最大值是

又∵cn +m﹣1对一切正整数n恒成立,

+m﹣1≥ ,即m2+4m﹣5≥0,

解得:m≥1或m≤﹣5


【解析】(1)利用等比数列的通项公式计算可知{an}的通项,进而代入计算即得结论;(2)通过可知数列{cn}的通项公式,进而利用错位相减法计算即得结论;(3)通过分析可知数列{cn}的单调性,进而转化为解不等式问题,计算即得结论.
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式,需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案.

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